Berechnung des Interface Widerstandes
Doch wie kann man nun den Interface Widerstand bestimmen, um ihn dann später vom Messwert abziehen zu können? Es gab auch im Forum schon Einwände, man könne keine 0 µm Dicke Schicht erzeugen, um dann den Interface Widerstand Rinterface separat zu messen, was erst einmal korrekt ist. Denn mit so einer Einzelmessung kann man das gar nicht lösen. Misst man aber mindestens zweimal (besser sind da meine 16 bis 17 Messungen in 25 µm Schritten), dann reichen eigentlich schon etwas Logik und relativ simple Mathematik für die Berechnung.
Um den Interface-Widerstand Rinterface bei einer Bondline Thickness (BLT) von null zu bestimmen, muss man die Wärmewiderstände für verschiedene BLT analysieren und die Daten extrapolieren, um den Grenzwert bei BLT=0 zu erhalten. Hier kommt die Vektorrechnung ins Spiel, indem man die Beziehung zwischen Wärmewiderstand und BLT modelliert und den Wert für den Interface-Widerstand durch eine lineare Regression oder eine andere analytische Methode extrahiert. Jeder Wärmewiderstand Rth hängt direkt von der BLT ab, das kann man auch recht einfach modellieren:
Hier ist Rinterface der Wärmewiderstand, der übrig bleibt, wenn die BLT=0 ist, also der Widerstand an der Grenzfläche zwischen zwei Materialien. Der zweite Term beschreibt den Wärmewiderstand aufgrund der Dicke des Materials. Es geht aber auch einfacher, wenn wir uns einmal das Schema ansehen, welches die Abhängigkeit des gemessenen Reff von der BLT zeigt:
Es ist genau das, was ich hier mache, denn man kann auch die vektorielle Darstellung der Parameter anwenden und die Werte für die Wärmewiderstände bei unterschiedlichen BLT als Punkte in einem zweidimensionalen Vektorraum darstellen, wobei eine Achse die Bondline-Dicke BLT (2) und die andere Achse den Wärmewiderstand Rth (1) repräsentiert. Jedes Datenpaar (blaue Punkte) bildet somit einen Vektor in diesem Raum. und jetzt kommt die lineare Regression zur Ermittlung des Grenzwertes ins Spiel. Da der Wärmewiderstand proportional zur BLT ist, kannst man eine lineare Regression durchführen, um die Beziehung zwischen Rth und BLT zu bestimmen:
Dabei ist m die Steigung der Geraden, die durch die Wärmewiderstandswerte bei unterschiedlichen BLT-Werten verläuft. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der y-Achse (bei BLT=0) gibt mir nun den Interface-Widerstand (3) Rinterface. Nachdem ich die Wärmewiderstände für verschiedene BLT-Dicken gemessen, leicht abweichende Werte (rote Punkte) erfasst (Determination) und eine lineare Anpassung durchgeführt habe, ist der Interface-Widerstand Rinterface exakt der Wert, der übrig bleibt, wenn die BLT gegen null geht. Mathematisch entspricht dies dem y-Achsenabschnitt der linearen Funktion:
Die Punkte, die von der Ideallinie abweichen (4) nutzt man später noch für den Determinations-Koeffizienten (4), der die Genauigkeit des Verhaltens eines Materials bei unterschiedlichen BLT zeigt, denn es wird auch TIM geben, die Anomalien aufweisen. Die Abweichungen der einzelnen Messpunkte von der Regressionsgerade werden somit in den Determinations-Koeffizienten (Bestimmtheitsmaß) zusammengefasst. Falls dieser Wert einmal der Idealwert 1 sein sollte, hat man meist etwas falsch gemacht oder nur zwei Messpunkte. Hier zeige ich Euch noch die sehr ähnliche Kurve, die der TIMA5 nach den Einzelmessungen ausgibt. Farben und Nummern an den Kurven, Punkten und Ergebnisfeldern entsprechen dabei denen des ersten Schemas:
Fassen wir das eben Gelesene noch einmal kurz zusammen. Die Vektorrechnung hilft dabei, die Wärmewiderstände für unterschiedliche BLT als Punkte in einem Koordinatensystem darzustellen. Durch die Extrapolation dieser Daten auf den Fall BLT=0 erhält man den Interface-Widerstand. Und genau den brauche ich, um auf die eher praxisfernen Bulk-Werte zu schließen, die nach meiner Methodik immer noch viel niedriger sind als das, was auf dem meisten Verpackungen steht, aber genau dem entspricht, was seriöse Hersteller im Industriebereich angeben. Denn an deren Berechnungen orientiere ich mich ja.
Was man falsch machen kann, zeigt diese “Messung”, bei der man die Messpunkte über die BLT(2) so zweckentfremdet setzt und auch nur zwei in die Bewertung einbezieht, dass nur noch purer Unfug dabei herauskommt. Man beachte auch den Determinations-Koeffizienten, der nunmehr logischerweise bei 1 liegt, was komplett absurd ist, da wir ein heterogenes Medium messen und mit nur zwei Punkten nicht reichen. Aber man erkennt auch den Weg, wie man sich eine möglichst hohe Wärmeleitfähigkeit zurechtkalkulieren kann. Aber es kommt ja noch ein Abschnitt…
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